Koliko mogu da vidim na prvi pogled, nisi definisao metod u tvojoj formi, tako da ona po defaultu šalje podatke koristeći GET. A tvoj mail.php očekuje podatke poslate putem POST. Dakle, formu treba da podesiš da koristi POST, ovako:
Kod:
<form action="mail.php" method="POST">
Pa dalje vidi radi li, nisam detaljno pregledao taj PHP kod, deluje ok.